Nach seiner Matura 1920 arbeitete Eduard Holzmair mehrere Jahre bei der Anglo-Austrian Bank in Wien, ehe er an der Universität Wien Germanistik, Geschichte und Kunstgeschichte studierte. Er dissertierte 1931 mit einer Arbeit zum Thema Eckehart und Tauler: ein Vergleich und legte im selben Jahr die Staatsprüfung am Österreichischen Institut für Geschichtsforschung ab. Bereits seit 1929 war er als Aspirant am Münzkabinett des Kunsthistorischen Museums (KHM) in Wien tätig gewesen, 1936 erfolgte seine Beförderung zum Assistenten. In Folge des Ausscheidens August Loehrs aus dem Museum und der Ernennung Fritz Dworschaks zum Kommissarischen Leiter des KHM nach dem "Anschluss" im März 1938 leitete Holzmair das Münzkabinett und sollte 1942 zum Kustos ernannt werden. Zwar war Holzmair nie der NSDAP beigetreten, doch war er Mitglied in verschiedenen Vorfeldorganisationen wie der Nationalsozialistischen Volkswohlfahrt, dem Reichskolonialbund und dem Reichsluftschutzbund. In der NS-Zeit war er an der Erstellung von Listen polnischer Kulturgüter im Generalgouvernement beteiligt, die in der Folge entzogen werden sollten. Er selbst schrieb dazu in seiner 1971 erschienenen Lebenserinnerung, dass er "im Zusammenhang mit einer generellen Aufnahme des polnischen Kunstbesitzes die großen polnischen Münzsammlungen in Krakau und Warschau verzeichnen [musste]". Aufgrund seiner Tätigkeit für den "Sonderauftrag Münzen" hatte Holzmair lange Zeit eine UK-Stellung und musste daher nicht zur Wehrmacht einrücken. Im Stift Kremsmünster wurden die beschlagnahmten numismatischen Sammlungen mehrerer österreichischer Klöster, wie etwa Klosterneuburg, Heiligenkreuz und St. Florian zusammengeführt, die für das "Führermuseum Linz" bestimmt waren. Ihre wissenschaftliche Bearbeitung erfolgte durch Holzmair und Fritz Dworschak. Als Kustos hatte er Zutritt zu den Bergungsdepots des KHM in der Wiener Innenstadt. Im Herbst 1944 wurde er schließlich zur Luftwaffe einberufen, zum Einsatz in den Flakstellungen herangezogen und geriet noch kurz in amerikanische Gefangenschaft.

Nach Kriegsende war Holzmair in Rückstellungsverhandlungen von Münzsammlungen, die in der NS-Zeit an das Münzkabinett gelangt waren, involviert. Im Fall der Sammlung von Alfred Menziles sprach er sich erfolgreich dafür aus, die Erbin zur "Widmung" einiger ausgewählter Stücke an das Münzkabinett zu bewegen, um ihr im Gegenzug bei der Erlangung einer Ausfuhrbewilligung für die restliche Sammlung behilflich zu sein. 1949 war er im Central Collecting Point München tätig, um die Restbestände der für Linz bestimmten Münzsammlungen nach österreichischen Provenienzen zu durchsuchen. Im selben Jahr übernahm Holzmair die Leitung der Bundessammlung für Medaillen, Münzen und Geldzeichen, so die damalige Bezeichnung des Münzkabinetts im KHM, und habilitierte sich für Numismatik und Geldgeschichte der mittleren und neueren Zeit. 1952 wurde er Direktor der Bundessammlung, 1959 außerordentlicher Universitätsprofessor. Ab 1966 führte Holzmair auch die Geschäfte des Ersten Direktors des KHM, ehe er 1967 in den Ruhestand trat. Holzmair war lange Jahre Vorstandsmitglied der Österreichischen Numismatischen Gesellschaft und 1950 bis 1968 deren Vizepräsident.