Nach dem Studium der Rechtswissenschaften, Archäologie und Kunstgeschichte an der Universität Innsbruck wurde Vinzenz Oberhammer 1936 im Fach Kunstgeschichte habilitiert. Am 1. April 1938 trat er das Amt des Kustoden am Tiroler Landesmuseum Ferdinandeum an, das ihn schon vor seiner Anstellung des Öfteren als Fachmann beigezogen hatte. Als Kustos kümmerte sich Oberhammer, der während des Krieges einige Male zur Wehrmacht einberufen wurde, um die Sammlungen, hatte geplante Erwerbungen aus kunsthistorischer Sicht zu beurteilen, organisatorische Angelegenheiten zu regeln sowie Ausstellungen zu konzipieren und durchzuführen. Gemeinsam mit Oswald Trapp, Vorstand des Museumsvereins 1937–1945, bereitete er alle Sachthemen vor, die letztendlich im Vereinsausschuss, dem er meist als Schriftführer beiwohnte, entschieden wurden. Im Ferdinandeum erhoffte man sich Kunstgegenstände vieler beschlagnahmter Sammlungen erwerben zu können. Kustos Oberhammer übernahm dabei die Detailauswahl und übersandte die Erwerbungswunschliste an die Zentralstelle für Denkmalschutz. Eine erste Zuweisung von Kunstobjekten aus der Sammlung Oskar Bondy fand im August 1940 statt. Da Trapp in den folgenden Jahren seinen Aufgaben als Gaukonservator in der Kulturkommission in Südtirol nachkommen musste, organisierte Oberhammer die Übernahme der Bestände. Vor allem plädierte er für den Kauf von Gläsern aus der Sammlung Franz Ruhmann und von Porzellangegenständen aus dem Bestand Nathan Eidinger. Zudem war er, sofern er nicht zum Wehrdienst einberufen war, in den Jahren 1942 bis 1945 für die Organisation der Bergung der Bestände des Tiroler Landesmuseums zuständig. Am 17. Juni 1939 hatte Oberhammer die NSDAP-Mitgliedschaft beantragt, die ihm am 1. Jänner 1941 mit der Nummer 9,672.651 gewährt worden war.

In den Nachkriegsjahren führte er gemeinsam mit dem Museumsvorstand Ernst Durig (1870–1965) Restitutionen von während der NS-Zeit – unter seiner Ägide – erworbenen Kunstgegenständen aus folgenden Sammlungen durch: Bernhard Altmann (1949, 1950), Gustav Arens (1948), Oskar Bondy (1947), Nathan Eidinger (1953), David Goldmann (1948), Felix Kornfeld (1950), Ernst Pollack (1948), Albert Pollak (1948), Robert Pollak (1947), Friedrich Reitlinger (1945, 1946, 1947), Alphonse Rothschild (1947), Louis Rothschild (1946, 1947), Franz Ruhmann (1951), Leontine Samek (1948), Paul Schwarzkopf (1948–1957) und Alfons Thorsch (1947). Auch die Neueröffnung des Museums, dessen Gebäude im April 1945 beschädigt worden war, im Jahr 1949, die Neuaufstellung der Sammlungen 1950 sowie zahlreiche Ausstellungen fielen in Oberhammers Zeit als Kustos des Ferdinandeums. 1955 folgte er einer Berufung ans Kunsthistorische Museum in Wien, wo er zunächst – in der Nachfolge von Ernst Buschbeck – als Leiter der Gemäldesammlung und als administrativer Direktor wirkte; hinzu kam 1960 das Amt des Ersten Direktors, das er bis zu seiner Versetzung in den Ruhestand bis 31. Dezember 1966 ausübte.