Moriz Grünebaum war der Sohn des k. k. Hofrats und Chefs der Bauabteilung der Staatsbahnen Gustav Grünebaum, der 1876 in den erblichen Ritterstand erhoben worden war. Nach dem Studium der Rechtswissenschaften in Wien und Krakau (Promotion 1905) trat Moriz in die Dienste der Niederösterreichischen Statthalterei. 1910 wurde er Bibliothekar der k. k. statistischen Zentralkommission, wechselte 1925 an die Universitätsbibliothek Wien und 1931 an die Akademie der bildenden Künste in Wien, wo er vier Jahre später als Staatsbibliothekar I. Klasse in den Ruhestand trat. Gemeinsam mit seiner Frau Laura (née Pollak, ab Austritt aus der IKG 1910 Pernier, 15. August 1869–22. Oktober 1940), Inhaberin des Wäschewarengeschäftes John & Pernier, und seiner frühverwitweten Mutter Charlotte Grünebaum (née Forchheimer, 27. Februar 1849–14. Oktober 1941) lebte er in der Liechtensteinstraße 45A in Wien 9. Grünebaum, der seit dem Gründungsjahr 1903 Mitglied der Österreichischen Exlibris-Gesellschaft war, sammelte Grafiken, Exlibris sowie Bücher und besaß zudem eine umfangreiche Sammlung sogenannter Mandlbögen des Wiener Kunstverlags Trentsensky, v. a. im Biedermeier beliebte Ausschneidebögen für Papiertheater. Er publizierte laufend im Österreichischen Jahrbuch für Exlibris und Gebrauchsgraphik sowie in den Mitteilungen der Österreichischen Exlibris-Gesellschaft und illustrierte selbst auch eines der beiden Märchenbücher, die seine Mutter während des Ersten Weltkriegs veröffentlichte. Exlibris ließ er u. a. von Felix Hochstimm und Hans Przibram anfertigen.

Vor allem für die Verwertung der Mandlbögen Moriz Grünebaums, der nach dem "Anschluss" trotz seiner Konversion zum Katholizismus 1895 als Jude galt, interessierte sich 1938 das Institut für Denkmalpflege, das diesbezüglich mit den "Niederdonau-Sammlungen", dem heutigen Landesmuseum Niederösterreich, in Verhandlungen stand. Die Kunstsammlung musste Grünebaum bei der Spedition J. Z. Dworak junior einlagern, als er nach Lauras Tod im Oktober 1940 gemeinsam mit seiner Mutter zu seiner Schwester Margarete Fürth, Witwe des Mediziners und Chemikers Otto Fürth, zog. Nur wenige Monate waren ihnen in Wien-Döbling beschieden, bevor Moriz, Margarete und deren Tochter Wilhelmine in eine "Sammelwohnung" in die Herminengasse zwangsübersiedelt wurden. Im August 1942 wurde Moriz Grünebaum ins Ghetto Theresienstadt deportiert, wo er Ende des Jahres im Alter von 69 Jahren umkam. Margarete und Wilhelmine Fürth waren kurz zuvor in Maly Trostinec ermordet worden.

In den Jahren 1948 bis 1957 tauchten sukzessive Werke aus Grünebaums Sammlung im Wiener Kunsthandel auf. So verkaufte das Versteigerungshaus S. Kende über 1.500 Mandlbögen in mehreren Tranchen an das heutige Wien Museum, die Albertina erwarb 1957 eine Zeichnung von der Kunsthändlerin Leopoldine Zelenka, und 1986/87 gelangten drei Druckgrafiken, die 1953 ebenfalls bei S. Kende veräußert worden waren, im Zuge einer größeren Schenkung an die Akademie der bildenden Künste in Wien. Aufgrund seines Stempels, der den Schriftzug "Fuer Pflicht und Ehr", die Initialen MG sowie ein Hoheitszeichen trägt, konnten die Objekte eindeutig der Sammlung Moriz Grünebaums zugeordnet werden. Wann und über welche Wege die Werke in den Kunsthandel gelangt waren, ist heute nicht mehr nachvollziehbar. Im Februar 2017 befand die Wiener Restitutionskommission die Mandlbögen im Wien Museum für rückgabefähig. Mit Beschluss vom 11. Jänner 2019 empfahl der Kunstrückgabebeirat die Restitution der Blätter aus der Akademie gemeinsam mit der Zeichnung aus der Albertina.