Heinrich Klapsia studierte Kunstgeschichte, Geschichte und Archäologie an der Universität Wien. Nach seiner Dissertation über Die Anfänge des Lorenzo Lotto (1930) und parallel zur Erstellung einer Hausarbeit am Institut für Österreichische Geschichtsforschung zur Verwaltungsgeschichte der habsburgischen Kunstsammlungen (1931) leistete er wissenschaftliche Hilfsdienste im Kunsthistorischen Museum in Wien bei der Aufstellung der Figdor-Sammlung in der Neuen Burg, in der Waffensammlung sowie in der Sammlung für Plastik und Kunstgewerbe. 1934 wurde er als provisorischer, 1937 als wirklicher wissenschaftlicher Assistent angestellt. 1938 avancierte der bereits in den Jahren davor dem Nationalsozialismus nahestehende Klapsia zum Beamten höheren Dienstes und engagierte sich bei der Einrichtung der Sammlung alter Musikinstrumente im Palais Pallavicini. Heinrich Klapsia war Mitglied des Reichskolonialbundes und neben Rudolf Noll Vertrauensmann des Reichsbundes Deutscher Beamter im Museum. In Klosterneuburg katalogisierte Klapsia Goldschmiedearbeiten und war für die museale Neugestaltung der Stiftssammlungen verantwortlich, die seit Juni 1941 dem Kunsthistorischen Museum unterstanden. Ab Herbst 1942 betreute er als leitender wissenschaftlicher Beamter gemeinsam mit dem Verwaltungsbeamten Johann Waldum die im Stift geborgenen Kunst- und Kulturgüter. Nach mehrfacher UK-Stellung beantragte Klapsia die Aufnahme in die Waffen-SS, wurde aber aus gesundheitlichen Gründen als untauglich abgelehnt. 1943 wurde er kommissarischer Leiter, 1944 Direktor der Sammlung für Plastik und Kunstgewerbe. Ende August 1944 erfolgte schließlich die Einberufung zur deutschen Wehrmacht. Heinrich Klapsia starb drei Wochen vor Kriegsende in Gerersdorf.