Heinrich Klang wurde als Sohn von James (vormals Jacob Moses) Klang, Generaldirektor der k. k. privilegierte Versicherungs-Gesellschaft Österreichischer Phoenix, und dessen Frau Caroline, née Rooz, in Wien geboren. Er studierte ab 1892 Rechts- und Staatswissenschaften an der Universität Wien, wo er 1897 promovierte. Seine juristische Tätigkeit führte ihn u. a. an das Landesgericht Wien, bis er seine Laufbahn als Richter ab dem Jahr 1914 kriegsbedingt unterbrechen musste, um als Offizier an der Front und als Auditor am Feldgericht in Galizien und anschließend bis Kriegsende am Landwehrdivisionsgericht in Wien zu dienen. Nach dem Ersten Weltkrieg wurde er Richter am Landesgericht für Zivilrechtssachen. Neben seiner beruflichen Tätigkeit habilitierte er sich 1923 und unterrichtete an der Universität Wien. 1925 erhielt er eine außerordentliche Professur und wechselte an das Oberlandesgericht Wien. Politisch engagierte sich Klang in der erfolglosen Bürgerlich-demokratischen Partei. Er publizierte 776 juristische Texte, u. a. war er Herausgeber der Juristischen Blätter und verfasste den viel rezipierten Kommentar zum Allgemeinen bürgerlichen Gesetzbuch, den sogenannten Klang-Kommentar.

Nach dem "Anschluss" 1938 verlor Klang aufgrund seiner jüdischen Herkunft sowohl seine Position als Richter als auch seine Lehrbefugnis. Aus finanziellen Gründen war er gezwungen, seine Wohnungseinrichtung und seine etwa 9.600 Bände umfassende Bibliothek über Zeitungsinserate zu veräußern. Seine Hoffnung auf eine Professur in den USA und ein damit verbundenes non-quota-Visum erfüllte sich aufgrund seines Alters nicht und auch weitere Versuche, nach Schanghai, Kuba oder Ungarn zu flüchten, scheiterten. 1942 wurde er in das Ghetto Theresienstadt deportiert, wo er als Vormundschaftsrichter und ab 1944 als Leiter des sogenannten Ghettogerichts beschäftigt war. Darüber hinaus gehörte er dem Ältestenrat der "jüdischen Selbstverwaltung" an. Seinen autobiografischen Angaben zufolge organisierte Klang nach Kriegsende den Rücktransport der ÖsterreicherInnen aus Theresienstadt. Klang selbst erreichte Wien im Juli 1945. Im November wurde er Senatspräsident des Obersten Gerichtshofs und gehörte bis 1946 dem Verfassungsgerichtshof an. 1947 fungierte er als Berater bei der Verabschiedung des Dritten Rückstellungsgesetzes und war bis 1949 Vorsitzender der Obersten Rückstellungskommission. Er nahm die Herausgabe der Juristischen Blätter wieder auf und wurde erster Präsident der Wiener Juristischen Gesellschaft. Klang arbeitete bis zu seinem Ruhestand 1949 als Richter und lehrte bis 1951 an der Universität Wien. 1952 heiratete er Helene Klang, née Artner, die seit 1938 geschiedene Ehefrau seines Bruders Fritz Dionys Klang, der 1941 im Spital der Israelitischen Kultusgemeinde in Wien 18 verstorben war. Sein zweiter Bruder, Marcell Klang, war 1942 nach Mauthausen deportiert und ermordet worden. Heinrich Klang hatte die NS-Zeit und den Zweiten Weltkrieg als einziger der Brüder überlebt, er starb 1954 in Wien.

Klang hatte seine juristischen Bücher sowie Bücherkästen in der NS-Zeit an einen Rechtsanwalt verkauft, der sie ihm 1946 freiwillig zurückgab. Andere Bücher waren an Antiquariate in Leipzig, Berlin und Frankfurt und weitere an Wiener AntiquarInnen gegangen. Auf diesem Wege dürften auch Bücher Klangs an das Antiquariat Alfred Wolf und in weiterer Folge an österreichische Institutionen gelangt sein. Ihre Herkunft konnte im Zuge der systematischen Provenienzforschung anhand von Exlibris seines Vaters identifiziert werden. So empfahl der Kunstrückgabebeirat am 18. Oktober 2019 die Restitution von zwei Druckschriften aus dem Bestand des Naturhistorischen Museums Wien an die RechtsnachfolgerInnen nach Heinrich Klang. Im Jahr 2022 wurden von der Universitätsbibliothek Wien, der Bibliothek der Wirtschaftsuniversität Wien, der Universitätsbibliothek Graz, der Zentral- und Landesbibliothek Berlin, der Badischen Landesbibliothek Karlsruhe, der Staats- und Universitätsbibliothek Bremen, der Bayrischen Staatsbibliothek München und der Sächsischen Landesbibliothek - Staats- und Universitätsbibliothek Dresden gemeinsam 42 Bücher restituiert.