Leo Bokh studierte Kunstgeschichte, Archäologie, Geschichte, Germanistik und Musikwissenschaften in Wien und Graz. Noch während des Studiums trat er dem Cartellverband bei. Nach seinem Studium war er als Schriftsteller und Kunstkritiker tätig, unter anderem für das Grazer Volksblatt und die Deutsche Allgemeine Zeitung Berlin. 1934 bekam er eine Konsulentenstelle in der Kulturabteilung des staatlichen Rundfunks RAVAG. Von 1937 bis zum "Anschluss" 1938 war er auch kommunalpolitisch als Mitglied des Gemeindetages als Vertreter der berufsständischen Hauptgruppe freie Berufe in Graz aktiv. Hatte er sich zu dieser Zeit noch durchwegs negativ über den Nationalsozialismus geäußert, änderte sich diese Einstellung mit der Machtübernahme durch das NS-Regime; er wurde um 1940 sogar NSDAP-Mitglied. 1941 kam Bokh als Mitarbeiter Karl Garzarolli-Thurnlackhs an die Landesbildergalerie bzw. Alte Galerie am Grazer Joanneum. Nur ein Jahr später erwirkte das Joanneum für ihn eine Unabkömmlichkeitsstellung, die es mit dem Mehraufwand durch die vielen Neuzugänge in diesen Jahren (Klosteraufhebungen, beschlagnahmte Sammlungen etc.) sowie durch die Trennung der Landesbildergalerie in eine Alte Galerie und eine Neue Galerie begründete. Bokh, der neben Garzarolli-Thurnlackh die einzige wissenschaftliche Kraft in der Alten Galerie war, musste in der Folge nicht zur Wehrmacht einrücken. Er führte die Leihinventare und betreute die Luftschutzdepots, die sich außerhalb von Graz befanden.

Bokhs kunsthistorischer Schwerpunkt lag auf der Barockgalerie, die er nach dem Krieg durch umfangreiche Erwerbungen, vielfach aus dem Kunsthandel, ausbaute. Nach 1945 wurde er als "minderbelastet" eingestuft und folgte 1946 Garzarolli-Thurnlackh als Leiter der Alten Galerie nach, wo er in dieser Funktion bis 1956 blieb. Sein Hauptaufgabenbereich umfasste hauptsächlich die Neuaufstellung der Alten Galerie, aber auch die Rückstellungen von während der NS-Zeit entzogenen Werken, etwa aus dem Eigentum von Oscar Bondy, Valerie Eisler, Rudolf Gutmann, Albert Pollak und Louis sowie Alphonse Rothschild. Wegen Verdacht auf Veruntreuung und aufgrund von Unstimmigkeiten in den Inventaraufzeichnungen wurde er 1956 infolge zweier Disziplinarverfahren bis zu seiner Versetzung in den Ruhestand mit verringerten Bezügen vom Dienst suspendiert. Sechs Jahre später erfolgte Bokhs Versetzung in den Ruhestand.